楕円の定義と方程式（直交座標系）

2014/4/20 2015/3/15 Learning, Mathematics

楕円の定義：平面上の2つの定点からの距離の和が一定となる点の集合で作られる曲線

2つの定点F, F’ 間の距離を2c，F, F’ から楕円上の点Pまでの距離をそれぞれr， r’とするとき，

定数a ( a > c > 0 ) に対して，

$r + r' = 2a$

を満たす点Pの集合で作られる曲線が楕円である．

楕円の方程式

図のような直交座標系(x-y)において，楕円の方程式を求めてみよう．

まず，上図を参考にすると， $r$ , $r'$ は次式のように書ける．

$r = \sqrt{(x-c)^2 + y^2}$ , $r' = \sqrt{(x+c)^2 + y^2}$

これらの式を， $r + r' = 2a$ に代入すると，

$\sqrt{(x-c)^2 + y^2} + \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 2a$

となる．

ここで，左辺第2項を移項して，両辺を2乗する．

$(x-c)^2 + y^2 = 4a^2 -4a\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2 + y^2$

$-cx = a^2 -a \sqrt{(x+c)^2 + y^2}$

$a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = a^2 + cx$

さらに，両辺を2乗して整理する．

$(a \sqrt{(x+c)^2 + y^2})^2 = (a^2 + cx)^2$

$a^2x^2 + 2a^2cx + a^2c^ + a^2y^2 = a^4 + 2a^2cx + c^2x^2$

$(a^2-c^2)x^2 + ay^2 = a^2(a^2 - c^2)$

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2-c^2} = 1$

いま， $b^2 := a^2 - c^2$ とおくと，

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

が得られる．

TeX

\noindent$r$, $r'$は次式で与えられる．
\begin{eqnarray}
  && r = \sqrt{(x-c)^2 + y^2} \\
  && r' = \sqrt{(x+c)^2 + y^2} \\
\end{eqnarray}

$r + r' = 2a$に代入する．
\begin{eqnarray}
  &&\sqrt{(x-c)^2 + y^2} + \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 2a
\end{eqnarray}

左辺第2項を移項して，両辺を2乗して整理する．
\begin{eqnarray}
  && (x-c)^2 + y^2 = 4a^2 -4a\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2 + y^2 \\
  && -cx = a^2 -a\sqrt{(x+c)^2 + y^2} \\
  && a\sqrt{(x+c)^2 + y^2} = a^2 + cx
\end{eqnarray}

さらに，両辺を2乗して整理する．
\begin{eqnarray}
  && (a \sqrt{(x+c)^2 + y^2})^2 = (a^2 + cx)^2 \\
  && a^2x^2 + 2a^2cx + a^2c^ + a^2y^2 = a^4 + 2a^2cx + c^2x^2\\
  && (a^2-c^2)x^2 + ay^2 = a^2(a^2 - c^2) \\
  && \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2-c^2} = 1 \\
  && \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1~~~(b^2 = a^2-c^2) 
\end{eqnarray}