楕円の定義と方程式(直交座標系)
楕円の定義:平面上の2つの定点からの距離の和が一定となる点の集合で作られる曲線
2つの定点F, F’ 間の距離を2c,F, F’ から楕円上の点Pまでの距離をそれぞれr, r’とするとき,
定数a ( a > c > 0 ) に対して,
を満たす点Pの集合で作られる曲線が楕円である.
楕円の方程式
図のような直交座標系(x-y)において,楕円の方程式を求めてみよう.
まず,上図を参考にすると,,
は次式のように書ける.
,
これらの式を,に代入すると,
となる.
ここで,左辺第2項を移項して,両辺を2乗する.
さらに,両辺を2乗して整理する.
いま,とおくと,
が得られる.
TeX
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 |
\noindent$r$, $r'$は次式で与えられる. \begin{eqnarray} && r = \sqrt{(x-c)^2 + y^2} \\ && r' = \sqrt{(x+c)^2 + y^2} \\ \end{eqnarray} $r + r' = 2a$に代入する. \begin{eqnarray} &&\sqrt{(x-c)^2 + y^2} + \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 2a \end{eqnarray} 左辺第2項を移項して,両辺を2乗して整理する. \begin{eqnarray} && (x-c)^2 + y^2 = 4a^2 -4a\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2 + y^2 \\ && -cx = a^2 -a\sqrt{(x+c)^2 + y^2} \\ && a\sqrt{(x+c)^2 + y^2} = a^2 + cx \end{eqnarray} さらに,両辺を2乗して整理する. \begin{eqnarray} && (a \sqrt{(x+c)^2 + y^2})^2 = (a^2 + cx)^2 \\ && a^2x^2 + 2a^2cx + a^2c^ + a^2y^2 = a^4 + 2a^2cx + c^2x^2\\ && (a^2-c^2)x^2 + ay^2 = a^2(a^2 - c^2) \\ && \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2-c^2} = 1 \\ && \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1~~~(b^2 = a^2-c^2) \end{eqnarray} |