楕円の定義と方程式(直交座標系)

楕円の定義:平面上の2つの定点からの距離の和が一定となる点の集合で作られる曲線

2つの定点F, F’ 間の距離を2cF, F’ から楕円上の点Pまでの距離をそれぞれr r’とするとき,

定数a ( a > c > 0 ) に対して,

r + r' = 2a

を満たす点Pの集合で作られる曲線が楕円である.

 

 ellipse

楕円の方程式

図のような直交座標系(x-y)において,楕円の方程式を求めてみよう.

まず,上図を参考にすると,r, r' は次式のように書ける.

r = \sqrt{(x-c)^2 + y^2} r' = \sqrt{(x+c)^2 + y^2}

これらの式を,r + r' = 2a に代入すると,

\sqrt{(x-c)^2 + y^2} + \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 2a

となる.

ここで,左辺第2項を移項して,両辺を2乗する.

(x-c)^2 + y^2 = 4a^2 -4a\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2 + y^2

-cx = a^2 -a \sqrt{(x+c)^2 + y^2}

a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = a^2 + cx

 

さらに,両辺を2乗して整理する.

(a \sqrt{(x+c)^2 + y^2})^2 = (a^2 + cx)^2

a^2x^2 + 2a^2cx + a^2c^ + a^2y^2 = a^4 + 2a^2cx + c^2x^2

(a^2-c^2)x^2 + ay^2 = a^2(a^2 - c^2)

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2-c^2} = 1  

いま,b^2 := a^2 - c^2 とおくと,

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

が得られる.

TeX

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