楕円の方程式（極座標系）

2014/4/20 2015/5/1 Learning, Mathematics

楕円の方程式

Fと楕円軌道上の点Pの距離をr，FとF’を結ぶ直線とFPのなす角をθとして，

極座標系における楕円の方程式を導出する．

2定点FF’間の距離を2cとして，余弦定理から $r'$ を求める.

$r'^2 = r^2 + (2c)^2 - 2\cdot r\cdot(2c)\cdot \cos (\pi - \theta)$

$r'^2 = r^2 + (2c)^2 + 4cr \cdot \cos (\theta)$ ( $\because$ 加法定理)

次に，楕円の定義 $r + r' = 2a$ から $r' = 2a - r$ として，これを上式に代入して整理する．

$(2a - r)^2 = r^2 + (2c)^2 + 4cr \cdot \cos (\theta)$

$(a + c\cos \theta) r = a^2 - c^2$

$r = \frac{a^2 - c^2}{a + c \cos \theta}$

ここで，右辺の分母分子を $a$ で割ると楕円の方程式が得られる．

$r = \frac{(a^2 - c^2)/a}{1 + c/a \cos \theta}$

$r = \frac{l}{1 + e \cos \theta}$

ただし，

離心率 $e := \frac{c}{a}$

半直弦 $l := \frac{a^2 - c^2}{a}$ ( $\theta = \frac{\pi}{2}$ のときの r の長さ )

を表す．

Tex

\noindent 極座標表示

$FF'$間の距離を$2c$とすると，
\begin{eqnarray}
  && r'^2 = r^2 + (2c)^2 - 2\cdot r\cdot(2c)\cdot \cos (\pi - \theta) \\
  && r'^2 = r^2 + (2c)^2 + 4cr \cdot \cos (\theta)~~~(\because 加法定理) \\
\end{eqnarray}

楕円の定義$r + r' = 2a$ から $r' = 2a - r$，これを上式に代入して整理する．
\begin{eqnarray}
  && (2a - r)^2 = r^2 + (2c)^2 + 4cr \cdot \cos (\theta) \\
  && (a + c\cos \theta) r = a^2 - c^2 \\
  && r = \frac{a^2 - c^2}{a + c\cos \theta}
\end{eqnarray}

ここで，右辺の分母分子を$a$で割ると楕円の方程式が得られる．
\begin{eqnarray}
  && r = \frac{(a^2 - c^2)/a}{1 + c/a\cos \theta} \\
  && r = \frac{l}{1 + e \cos \theta}
\end{eqnarray}

ただし，
離心率$e := \frac{a}{c}$
半直弦$l := \frac{a^2 - c^2}{a}$($\theta = \frac{\pi}{2}$のときの$r$の長さ)
を表す.