楕円の方程式(極座標系)
楕円の方程式
Fと楕円軌道上の点Pの距離をr,FとF’を結ぶ直線とFPのなす角をθとして,
極座標系における楕円の方程式を導出する.
2定点FF’間の距離を2cとして,余弦定理からを求める.
(
加法定理)
次に,楕円の定義 から
として,これを上式に代入して整理する.
ここで,右辺の分母分子を で割ると楕円の方程式が得られる.
ただし,
離心率
半直弦 (
のときの r の長さ )
を表す.
Tex
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 |
\noindent 極座標表示 $FF'$間の距離を$2c$とすると, \begin{eqnarray} && r'^2 = r^2 + (2c)^2 - 2\cdot r\cdot(2c)\cdot \cos (\pi - \theta) \\ && r'^2 = r^2 + (2c)^2 + 4cr \cdot \cos (\theta)~~~(\because 加法定理) \\ \end{eqnarray} 楕円の定義$r + r' = 2a$ から $r' = 2a - r$,これを上式に代入して整理する. \begin{eqnarray} && (2a - r)^2 = r^2 + (2c)^2 + 4cr \cdot \cos (\theta) \\ && (a + c\cos \theta) r = a^2 - c^2 \\ && r = \frac{a^2 - c^2}{a + c\cos \theta} \end{eqnarray} ここで,右辺の分母分子を$a$で割ると楕円の方程式が得られる. \begin{eqnarray} && r = \frac{(a^2 - c^2)/a}{1 + c/a\cos \theta} \\ && r = \frac{l}{1 + e \cos \theta} \end{eqnarray} ただし, 離心率$e := \frac{a}{c}$ 半直弦$l := \frac{a^2 - c^2}{a}$($\theta = \frac{\pi}{2}$のときの$r$の長さ) を表す. |