楕円の方程式(極座標系)

ellipsePolar

楕円の方程式

Fと楕円軌道上の点Pの距離をrFF’を結ぶ直線とFPのなす角をθとして,

極座標系における楕円の方程式を導出する.

2定点FF’間の距離を2cとして,余弦定理からr'を求める.

r'^2 = r^2 + (2c)^2 - 2\cdot r\cdot(2c)\cdot \cos (\pi - \theta)

r'^2 = r^2 + (2c)^2 + 4cr \cdot \cos (\theta) (  \because  加法定理) 

次に,楕円の定義r + r' = 2a から r' = 2a - rとして,これを上式に代入して整理する.

(2a - r)^2 = r^2 + (2c)^2 + 4cr \cdot \cos (\theta)

(a + c\cos \theta) r = a^2 - c^2

r = \frac{a^2 - c^2}{a + c \cos \theta}

ここで,右辺の分母分子を a で割ると楕円の方程式が得られる.

r = \frac{(a^2 - c^2)/a}{1 + c/a \cos \theta}

r = \frac{l}{1 + e \cos \theta}

 

ただし,

離心率 e := \frac{c}{a}

半直弦 l := \frac{a^2 - c^2}{a} ( \theta = \frac{\pi}{2}のときの の長さ )

を表す.

Tex

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