2次元極座標系における速度と加速度

座標

x, y 座標系における座標と r,\theta 座標系における座標の関係は次のよう書ける.

x = r \cos \theta

y = r \sin \theta

速度

上式を時間 t で微分することで x, y 方向の速度が得られる.

v_x = \dot{x} = \dot{r} \cos \theta - r \cdot \dot{\theta} \sin \theta

v_y = \dot{y} = \dot{r} \sin \theta + r \cdot \dot{\theta} \cos \theta

加速度

上式をさらに時間 t で微分することで x, y 方向の加速度が得られる.

a_x = \ddot{x} = \ddot{r} \cos \theta - \dot{r} \sin \theta \cdot \dot{\theta} - \dot{r} \sin \theta \cdot \dot{\theta} - r \cos \theta \cdot \dot{\theta} \cdot \dot{\theta} - r \sin \theta \cdot \ddot{\theta}

   = \ddot{r} \cos \theta - 2 \dot{r} \dot{\theta} \sin \theta - r \dot{\theta}^2 \cos \theta - r \ddot{\theta} \sin \theta

a_y = \ddot{y} = \ddot{r} \sin \theta + \dot{r} \cos \theta \cdot \dot{\theta} + \dot{r} \cos \theta \cdot \dot{\theta} - r \sin \theta \cdot \dot{\theta} \cdot \dot{\theta} + r \cos \theta \cdot \ddot{\theta}

   = \ddot{r} \sin \theta + 2 \dot{r} \dot{\theta} \cos \theta - r \dot{\theta}^2 \sin \theta + r \ddot{\theta} \cos \theta

法線方向速度・接線方向速度

法線方向の速度を v_r , 接線方向の速度を v_{\theta} とする.

v_x, v_y を用いてこれらの速度を表現すると下図のようになる.

VrVtheta_ArAtheta

以上より,v_r , v_{\theta} は以下のように表わせる.

v_r = v_x \cos \theta + v_y \sin \theta

   = \left( \dot{r} \cos \theta - r \cdot \dot{\theta} \sin \theta \right) \cos \theta + \left( \dot{r} \sin \theta + r \cdot \dot{\theta} \cos \theta \right ) \sin \theta

   = \dot{r} \cos^2 \theta - r \cdot \dot{\theta} \sin \theta \cos \theta + \dot{r} \sin^2 \theta + r \cdot \dot{\theta} \sin \theta \cos \theta

   = \dot{r} (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta )

   = \dot{r}

v_{\theta} = -v_x \sin \theta + v_y \cos \theta

   = -\left( \dot{r} \cos \theta - r \cdot \dot{\theta} \sin \theta \right) \sin \theta + \left( \dot{r} \sin \theta + r \cdot \dot{\theta} \cos \theta \right ) \cos \theta

   = - \dot{r} \cos \theta \sin \theta + r \cdot \dot{\theta} \sin^2 \theta + \dot{r} \sin \theta \cos \theta + r \cdot \dot{\theta} \cos^2 \theta

   = r \dot{\theta} (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)

   = r \dot{\theta}

法線方向加速度・接線方向加速度

法線方向の加速度を a_r, 接線方向の加速度を a_{\theta} とする.

a_x, a_y とこれら加速度の間には速度の場合と同じ関係が成立する.

したがって,a_r, a_{\theta}は,以下のように表わせる.

a_r = a_x \cos \theta + a_y \sin \theta

   = (\ddot{r} \cos \theta - 2 \dot{r} \dot{\theta} \sin \theta - r \dot{\theta}^2 \cos \theta - r \ddot{\theta} \sin \theta) \cos \theta

   ~~~+ (\ddot{r} \sin \theta + 2 \dot{r} \dot{\theta} \cos \theta - r \dot{\theta}^2 \sin \theta + r \ddot{\theta} \cos \theta) \sin \theta

   = \ddot{r}(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) - 2 r \dot{\theta}^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)

   = \ddot{r} - r \dot{\theta}^2

a_{\theta} = -a_x \sin \theta + a_y \cos \theta

   = -(\ddot{r} \cos \theta - 2 \dot{r} \dot{\theta} \sin \theta - r \dot{\theta}^2 \cos \theta - r \ddot{\theta} \sin \theta) \sin \theta

   ~~~+ (\ddot{r} \sin \theta + 2 \dot{r} \dot{\theta} \cos \theta - r \dot{\theta}^2 \sin \theta + r \ddot{\theta} \cos \theta) \cos \theta

   = 2 \dot{r} \dot{\theta} (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) + r \dot{\theta} (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)

   = 2 \dot{r} \dot{\theta} + r \dot{\theta}

 

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コメント

  1. たらお より:

    a_rの係数2は間違いではないでしょうか?

    • Kaz より:

      たらおさま

      ご指摘ありがとうございます.

      半径方向の加速度a_rの第2項の係数は1になります.
      修正いたしました.

Thank you for comment!